Sottopazi vettoriali, generatori, basi

By ALeXio

Un insieme W si dice sottospazio vettoriale di V se

• v, w elementi di W à v + w sta  in W                                     = c’è la somma
• v = elemento di W, a = scalare (numero)à av sta in W           = c’è il prodotto per un numero
• 0v sta in W                                                                             = c’è lo 0

Esempio

{ x, y, z : x – y + 2z = 0 } è un sottospazio di R3?

Verifico le proprietà

somma

( x + y + z ) + ( x1 + y1 + z1) = 0

( x + x1) – ( y + y1) + 2 ( z + z1 ) = 0

prodotto per uno scalare

ax – ay – 2az =0

elemento nullo

0 – 0 + 2 . 0 = 0

Sono soddisfatte tutte le proprietà, quindi è un sottospazio di R3

Esempio

{ x, y, z : x = 4 } è un sottospazio di R3?

No, se x = 4  non esiste l’elemento ( 0, 0, 0 )

combinazione lineare

Se v è un elemento di uno spazio vettoriale k, un ulteriore elemento v1 dello spazio è combinazione lineare se esistono degli scalari t.c. v1 si può scrivere: a1v1 + a2v2… + anvn

generatori

W è un sottospazio di V, gli elementi v1, v2, … vn  appartengono a V

v1, v2 … vn  è un insieme di generatori di W  se ogni elemento di W è combinazione lineare di ( v1, v2 … vn )

W = L ( v1, v2, … vn )

dipendenza lineare

Siano n elementi di V, essi sono linearmente indipendenti se prendo una combinazione lineare dello spazio V e la pongo = a 0  questa è zero se e solo se gli scalari a1, a2 … an  sono tutti 0

a1v1 + a2v2 … + anvn = 0  solo se a1, a2 … anvn sono tutti nulli

base

E’ un insieme ordinato di generatori linearmente indipendenti, ovvero il numero massimo di vettori linearmente indipendenti e il numero minimo di generatori. Le basi sono infinite ma tutte hanno lo stesso numero di elementi.

trovare una base

Esempio

ho lo spazio vettoriale V4{ (x, y, z ) : x – y + 2z = 0 }           devo trovare una base

esplicito l’elemento generico dal vincolo verificando che non ci siano vincoli di troppo, ovvero che siano combinazionee lineare degli altri

x = y – 2z   à  { ( y – 2z, y , z ) y, z in R }

metto in evidenza le variabili libere

y ( 1, 1, 0 ) + z ( -2, 0, 1 )

una base dello spazio vettoriale V4 è quindi

B ( V4 ) = { ( 1, 1, 0 ), ( -2, 0, 1 ) }

base canonica

Qualunque elemento di uno spazio vettoriale Rn si può scrivere come combinazione lineare di questi elementi:

e1 = ( 1, 0 … 0 )

e2 = ( 0, 1 … 0 )

…

en = ( 0, 0 … 1 )

dimensione di uno spazio vettoriale

Numero degli elementi di una base

Esempio

Siano     v1 ( 2, -1, 1 )    v2 ( 4, -2, 2 )    v3 ( 1, 1, 0 )    v4 ( 0, -3, 1 )       degli spazi vettoriali

e          a1 = 3        a2 = -1        a3 = -2        a4 = -1            degli scalari

Calcolare la combinazione lineare dei vettori v1 … v4 secondo gli scalari a1 … a4

( 3 ) ( 2, -1, 1 ) + ( -1 ) ( 4, -2, 2 ) + ( -2 ) ( 1, 1, 0 ) + ( -1 ) ( 0, -1, 3 )

Faccio i conti

= ( 0, 0, 0 )

Sono linearmente indipendenti ?

No, perché ottengo l’elemento nullo con scalari non nulli

Sono una base?

No, perché sono linearmente dipendenti e inoltre siamo in R3 e una base di R3 non può avere più di 3 elementi