Estremi liberi

By ALeXio

derivate prime

Si definiscono derivate direzionali perché dipendono dalla direzione che scelgo. Esistono delle direzioni privilegiate ovvero quelle degli assi cioè dei versori fondamentali i j k

Per trovare la derivata di una funzione di + variabili bisogna derivare rispetto ad ogni variabile, il vettore che ne risulta si chiama gradiente ( ▼ )

Per derivare rispetto a una variabile si considera l’altra variabile come se fosse una costante e valgono le regole di derivazione di funzioni ad una sola variabile

Esempio

Trovare il gradiente nel punto ( 3, 1 ) della funzione

f ( x, y ) = x²y à  y’ risp a x, y’ risp a y à▼f ( x, y ) = ( 2 xy, x² ) à▼f ( 3, 1 ) = ( 6, 9 )

derivate seconde

Si deriva rispetto a x 2 volte, rispetto a y 2 volte e rispetto a x la derivata 1° calcolata in y oppure rispetto a y la derivata 1° calcolata in x à il risultato è lo stesso

Esempio

Trovare derivate prime e seconde della funzione

f(x,y) = 3x² + x² sin y

derivata parziale rispetto a x

δf

--- = 6x + 2x sin y

δx

                                                      gradienteà▼f(x,y) = (6x + 2x sin y, x² cos y)

derivata parziale rispetto a y

δf

--- = x² cos y

δy

derivata 2° rispetto a x

δ²f

--- = 6 + 2 sin y

δx²

derivata 2°  rispetto a x e poi rispetto a y à deriv 2° rispetto a x della deriv 1° rispetto a y o viceversa

   δ²f                δ²f

--------    =    -------   =       2x cos y   

 δx δy            δy δx

derivata 2°  rispetto a y

δ²f

--- = - x² sin y

δy²

differenziabilità

Una funz di + variabili da Rn in R si dice differenziabile in un punto x¹  se tutte le derivate parziali esistono e sono continue

• se è differenziabile in x¹       è continua
•                    “                         ammette derivate parziali in ogni direzione
•                    “                         il differenziale rappresenta il piano tangente ed è

il prodotto scalare   à   f (x¹) + ▼ f (x¹) . ( x - x¹ )

estremi liberi

Con le y’ si forma una funzione vettoriale che è il gradiente, col le y’’ si forma la matrice Hessiana, quadrata e simmetrica ( ha tutti gli autovalori in R )

Punto critico à  ▼= 0                        max --  min  -- punto di sella

Se x¹ è un punto critico si costruisce la matrice Hf                          

 δ²f                            δ²f

-----                         ------

 δx²                          δx δy           

 δ²f                             δ²f                         

------                         -----

δy δx                         δy²    

Hf  è definita          positiva    à    tutti gli autovalori   > 0

 “           “                negativa                       “                  < 0

 “      semidefinita   positiva                        “                  ≥ 0

 “             “              negativa                       “                  ≤ 0

 “        indefinita      se ha almeno 2 autovalori di segno opposto 

Hf(x¹)    positiva     à x¹  è             punto di   minimo

      “      negativa            “                      “        massimo

      “      indefinita          “                       “        sella

Nessuna delle precedenti    à  non si può dare risposta  

classificare gli estremi liberi

1. derivata prima  rispetto a x  à x’
2.         “                       “      y  à y’
3. sistema x’=0, y’=0
4. derivata seconda rispetto a x

“                     “             x e poi a y

“                     “             y 

5. Hf calcolata in x’, y’
6. calcolare gli autovalori

Esempio

f(x,y) = log(1-xy)

[prima cosa sempre il dominio]

1

 δf              y                

----- =  -  ------            

 δx           1-xy  

2

 δf              x                

----- = -   ------                         

 δy           1-xy

 3 

        y                

  - ------ = 0          y = 0  

     1-xy  

                                                   à  punto critico ( 0, 0 )

       x                

 -  ------ = 0           x = 0

     1-xy  

4

 δ²f                     y²              

-----  = …   -  --------                  

 δx²                 (1-xy)²

  δ²f                     1            

-------  = …  -  --------                  

δx δy               (1-xy)²

 δ²f                    x²            

-----  = …  -  --------                    

 δy²               (1-xy)²

5

 0         -1

-1          0

6

 | - λ         -1 |

 | -1          -λ |            à   λ² -1 = 0   à  λ = +-1  à  ( 0, 0 ) = punto di sella