Estremi vincolati

By ALeXio

Si tratta di trovare gli estremi di una funzione soggetti ad un vincolo

Se il vincolo è del tipo y = h( x ) bisogna sostituire alla y l’espressione h( x ), quindi calcolare gli estremi della funzione ad una sola variabile x che risulta

f( x, y )      vincolo: y = h( x )  à   f ( x, h( x ) )

Se il vincolo è piu complesso dobbiamo ridurlo in forma parametrica e sostituirlo nella funzione

Risulterà una funzione ad una sola variabile t di cui possiamo calcolare gli estremi

Se non è possibile né esplicitarlo nella funzione né parametrizzarlo, allora si ricorre al teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Esempio

Trovare gli estremi della funzione                                           soggetta al

f(x,y) = 3x² + y²                                                                       vincolo: x² + y² - 4 = 0

Il vincolo è una circonferenza di raggio 2: parametrizzo

x(t)= 2 cos(t)

y(t)= 2 sin(t)        t  in [0, 2π]

sostituisco il vincolo nell’equazione  

       3x²            y²

( 2 cos( t ), 2 sin( t ) ) à     12 cos² ( t ) + 4 sin² ( t )

in questo modo mi riconduco a trovare gli estremi non vincolati di una funzione che dipende dalla sola variabile t

φ( t ) = 12 cos² ( t ) + 4 sin² ( t )

derivata prima

... = -16 cos ( t ) sin ( t )

cos ( t ) = 0  à  π/2 , 3/2π

sin ( t ) = 0  à  0, π  ( 2π )

derivata seconda

-16 cos ( t ) sin ( t )   =   - 8 sin 2 t  à   - 16 cos 2 t   

t = 0  à  - 16  à  -16 < 0  à  max 

π/2  à  cos π = -1 . -16 = +16 >0  à  min

3/2 π  à  cos 3π      “             “               “

0 ( 2/ π ) à   cos 0 = 1 . -16 = -16 < 0 à  max

π  à   cos π                 “               “              “   

teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Se x¹ ( vettore, cioè coppia x, y ) è di estremo vincolato per f( x, y ) e il gradiente del vincolo calcolato in x¹  è ≠  0

allora esiste un valore λ¹ in R t.c. ▼f (x¹) = λ¹ . ▼g (x¹)

ovvero il gradiente della funzione è parallelo al gradiente del vincolo

abbiamo  f( x, y ) soggetta al vincolo g( x, y )

costruiamo la  funzione lagrangiana nelle variabili x, y, λ

L( x, y, λ ) = f( x, y ) - λ g( x, y )

Devo trovare i punti critici liberi di questa funzione

ovvero ▼ L( x, y, λ ) = 0  à  x¹, y¹, λ¹

▼ L( x, y, λ ) = 0  è costituito dal sistema che possiamo impostare direttamente senza costruire la lagrangiana

{▼ f( x, y ) - λ▼ g( x, y ) = 0

{g( x, y ) = 0

Non si considera λ ma solamente x¹, y¹ che sarà un punto critico vincolato della funzione di partenza

Esempio

f( x, y ) = x² + 3y                                                    vincolo: g ( x, y ) = x²/4 + y²/9 – 1 = 0

il vincolo è un ellisse che si potrebbe parametrizzare ( 2 cos t 3 sin t )

ma usiamo i moltiplicatori di L.

costruiamo la lagrangiana

L( x, y, λ ) = x² + 3y - λ  ( x²/4 + y²/9 – 1 )

Derivate

rispetto a x                                        rispetto a y                                    rispetto a λ

x’ = 2x – 1/2 λ x                               y’ = 3 . 2/9 λ y                               λ’= - x²/4 + y²/9 – 1

2x – 1/2 λ x = 0                               

3 . 2/9 λ y = 0     

Costruisco il sistema                            ( equivalente ↓ )

{2x – 1/2 λ x = 0                                  {▼ f - λ▼ g = 0                   

{3 . 2/9 λ y = 0                                     {

{- x²/4 + y²/9 – 1 = 0                            { x²/4 + y²/9 – 1 = 0

{2x – 1/2 λ x = 0                              { x = 0   λ = 4                              

{3 . 2/9 λ y = 0              à  …  à   { sostituisco   λ = 4                                         

{- x²/4 + y²/9 –1 = 0                         {1 – (3 . 27)/54     …  < 0  à nessuna soluzione reale per λ = 4    

 Per x = 0                         

…

{y² = 9  à y = +-3

{λ = +- 9/2                            à  2 estremi liberi della lagrangiana: ( 0, 3, 9/2 ), ( 0, -3, -9/2 )

 (λ non lo considero più)       à 2 probabili estremi vincolati

Bisogna tornare alla funzione di partenza e al vincolo e verificare a seconda dei casi

teorema di Weiestrass

Se una funzione è continua in un insieme compatto (chiuso e limitato) assume sicuramente max e min: vale anche per le funzioni di + variabili

È valido anche per il vincolo?

Si, perché il bordo dell’ellisse è un compatto

Abbiamo 2 punti stazionari à 1 max e 1 min

Allora considero il valore che la funzione assume nei punti stazionari: quello + alto sarà il max e quello + basso sarà il min

f ( 0, 3 ) = 9  à max

f ( 0, -3 ) = - 9  à min

Per verificare che soddisfino il teorema dei m. di L. controllo che il gradiente del vincolo sia ≠ 0

▼g = ( 2x/4, 3y/9 )  à sostituisco i valori e ottengo ( 0, 1 ) e ( 0, -1 ) à  ≠ 0

funzioni con + di 2 variabili e + di 1 vincolo

Il teorema dei m. di L. è sempre valido

Esempio

funzione con 3 variabili

f ( x, y, z )   à  lagrangiana à  L = f (x, y, z ) –λ g ( x, y, z )  

il sistema sarà formato da 4 equazioni  ( L ( x, y, z, λ ) )

Esempio

2  vincoli

f ( x, y, z )                       vincolo 1: g¹ ( x, y, z ) = 0                    vincolo 2:  g² ( x, y, z ) = 0

avrò 2 moltiplicatori: λ¹, λ²   e la lagrangiana avrà 5 variabili à L (x, y, z, λ¹, λ² )                       

L = f ( x, y, z ) - λ¹g¹ ( x, y, z ) - g² λ² ( x, y, z )  

Il sistema sarà

{▼f - λ¹▼g¹ - λ²▼g² = 0

{g¹ = 0

{g² = 0