Matrici
By ALeXio
Matrice n x m: n = righe, m = colonne a coefficienti in R
m. trasposta
La trasposta di una matrice A = n x m è la matrice tA che ha le righe al posto delle colonne e le colonne al posto delle righe di A, ovvero tA = m x n
Esempio
1 4
2 -5 tA = 1 2 3
3 -6 4 -5 -6
m. simmetrica
A è simmetrica se tA = A
Esempio
1 2 7
2 5 9
7 9 0
m. antisimmetrica
A è antisimmetrica se tA = -A
Le matrici antisimmetriche hanno tutti zeri sulla diagonale principale
Esempio
0 -1 2
1 0 5
-2 -5 0
m. diagonale
E’ una matrice che ha i numeri sulla diagonale principale e altrove tutti zeri
Esempio
1 0 0
0 2 0
0 0 3
somma e sottrazione
Due matrici per essere sommate o sottratte devono avere la stessa forma
A = n x m B = n1 x m1 à n = n1, m = m1
Si somma o si sottrae componente per componente
Esempio
1 2 0 0 1 2
3 4 + 2 1 = 5 5
5 6 -1 3 4 9
moltiplicazione per un numero
Si moltiplica il numero per ogni elemento della matrice
Esempio
-1 3 -3 9
3 . 2 1 = 6 3
4 5 12 15
prodotto di matrici
Il prodotto di due matrici si definisce prodotto righe x colonne
Il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B
Se ho due matrici A m x n e B n x q il prodotto sarà una matrice C m x q
E’ la sommatoria di:
prima riga x prima colonna, prima riga x seconda colonna … prima riga x colonna n
seconda riga x prima colonna, seconda riga x seconda colonna … seconda riga x colonna n
…
riga n x prima colonna, … … … riga n x colonna n
Esempio
1 -1 0 0 1 -1 0
-1 1 1 x 1 1 = 1 -1
0 -1
A = 2 x 3 B = 3 x 2 C = 2 x 2
m. ridotta
Si può ridurre sia per righe che per colonne
Una matrice è ridotta per righe se in ogni riga c’è almeno un elemento non nullo, che viene detto elemento speciale, al di sotto del quale ci sono solamente zeri; sopra ci può essere qualunque numero, anche 0
ridurre una matrice
In ogni riga ci deve essere un elemento non nullo al di sotto del quale ci devono essere tutti zeri quindi scelgo un elemento che si chiama elemento speciale e faccio in modo che sotto ci sia 0
Voglio rendere 0 l’elemento rk che si trova nella riga k, colonna j
Prendo la riga stessa e sottraggo l’elemento che voglio annullare diviso l’elemento speciale
formula:
rk à rk – a kj
-----
a ij
Per ridurre una matrice per righe si effettuano le seguenti operazioni
Esempio
1 1 2 3 0
1 2 1 1 1
2 3 3 4 1
Nella prima riga ho già uno zero, quindi scambio la prima riga con la seconda
1 2 1 1 1
1 1 2 3 0
2 3 3 4 1
Nell’ultima colonna ho già uno zero, quindi faccio in modo che diventi zero anche l’ultimo elemento
All’ultima riga sostituisco la riga stessa meno la prima riga
1 2 1 1 1
1 1 2 3 0
1 1 2 3 0
La prima riga è ridotta, scelgo un elemento della seconda riga da rendere speciale
Alla seconda riga sostituisco la riga stessa meno la terza riga
1 2 1 1 1
1 1 2 3 0
0 0 0 0 0
La matrice è ridotta e ha rango 2
1 2 1 1 1
1 1 2 3 0
trovare il determinante
Si può trovare solo nelle matrici quadrate
regola di Laplace
Il determinante delle matrici 2x2 è dato dalla moltiplicazione degli elementi della diagonale principale meno la moltiplicazione degli elementi della diagonale secondaria
Il determinante delle matrici 3x3 si trova con la
regola della stella
Esempio
1 2 1 3
1 7 -1 0
0 0 3 0
1 2 0 1
scelgo la terza riga, incrocio con la prima colonna
1 2 1 3
1 7 -1 0
0 0 3 0
1 2 0 1
somma degli indici: 1+3 = +
2 1 3
+ 0 x 7 -1 0
2 0 1
incrocio la riga scelta con la seconda colonna
1 2 1 3
1 7 -1 0
0 0 3 0
1 2 0 1
somma degli indici 2+3 = -
1 1 3
- 0 x 1 -1 0
1 0 1
incrocio la riga scelta con la terza colonna
1 2 1 3
1 7 -1 0
0 0 3 0
1 2 0 1
somma degli indici 3+3 = +
1 2 3
+ 3 x 1 7 0
1 2 1
incrocio la riga scelta con la quarta colonna
1 2 1 3
1 7 -1 0
0 0 3 0
1 2 0 1
Somma degli indici 4+3 = -
1 2 1
- 0 x 1 7 -1
1 2 0
Il determinante sarà la sommatoria dell’elemento moltiplicatore per il determinante di tutte le matrici che ho ottenuto
Per calcolare il determinante delle matrici che ho ottenuto posso proseguire fino ad ottenere una matrice 2x2 oppure applicare la regola della stella.
Effettuo il calcolo solo per la terza matrice dato che gli altri elementi moltiplicatori sono tutti 0
( 1 x 7 x 1 ) + ( 1 x 2 x 3 ) + ( 2 x 0 x 1 ) – ( 3 x 7 x 1 ) – ( 0 x 2 x 1 ) – ( 1 x 2 x 1 ) =
= + 3 x ( 7 + 6 +0 -21 -0 -2 ) = 3 x ( -9 ) = -27
rango
Abbiamo una matrice A, consideriamo lo spazio generato dai vettori riga
L( R1, R2 … Rm ) = R ( A )
e lo spazio generato dai vettori colonna
L ( C1, C2, … Cn ) = C ( A )
Questi 2 spazi hanno la stessa dimensione che si chiama rango di A
Il rango di A è il numero di righe non nulle della matrice A ridotta per righe
calcolare il rango
Ridurre la matrice e contare il numero delle righe
invertire una matrice
Si possono invertire solo le matrici quadrate e con il determinante diverso da zero
Si scrive la matrice A che viene detta incompleta e la si completa con la matrice identica I, cioè si scrive la matrice e di seguito separata da una linea verticale la matrice identica, cioè quella che ha 1sulla diagonale principale e altrove tutti zeri
Riduco A modificando tutta la riga, anche la parte I
costruisco il sistema delle righe
moltiplico la riga 1 della matrice A per la colonna 1 della matrice I
itero il procedimento per tutte le righe e risolvo il sistema
Esempio
devo invertire la matrice
1 -1 0
1 -1 1
2 1 2
calcolo il determinante: diverso da 0, è invertibile
aggiungo la matrice identica
1 -1 0 | 1 0 0
1 -1 1 | 0 1 0
2 1 2 | 0 0 1
Riduco
1 -1 1 | 0 1 0
1 1 0 | 1 0 0
0 3 0 | 0 -2 1
Sistema, moltiplico righe x colonne
1 -1 1 R1 = 0 1 0
1 1 0 R2 = 1 0 0
0 3 0 R3 = 0 -2 1
R1 – R2 + R3 = 0 1 0
R1 + R2 = 1 0 0
3 R2 = 0 -2 1
Risolvo il sistema
R2 = 0, - 2/3, 1/3
R1 = 1, 2/3, -1/3
R3 = -1, -1/3, 2/3
La matrice inversa sarà quindi
1 2/3 -1/3
0 -2/3 1/3
-1 -1/3 2/3
trovare dimensione e base di uno spazio vettoriale con le matrici
Metto i vettori in colonna formando una matrice, riduco la matrice e le righe saranno una base dello spazio vettoriale
Esempio
Ho uno sottospazio vettoriale di R3 generato dai vettori ( 1, 2, 3 ) , ( 0, 1, 1 ) , ( 2, 5, 7 ) : trovare una base e la dimensione
Metto i vettori in colonna e riduco la matrice: il rango sarà la dimensione e le righe la base
1 2 3 1 2 3 1 2 3
0 1 1 à 0 1 1 à 0 1 1
2 5 7 0 1 1 0 0 0
B = { ( 1, 2, 3 ) , ( 0, 1, 1 ) }
dimensione = 2