Probabilità e statistica

By ALeXio

Parte 1

Bisogna considerare quante volte compare un elemento e l'ordine con cui compare

ciascun elemento può comparire una sola volta: permutazioni semplici

certi elementi possono comparire più di una volta: permutazioni con ripetizione 

conta l'ordine in cui compaiono gli elementi: disposizioni

non conta l'ordine in cui compaiono gli elementi: combinazioni

permutazioni semplici  

Abbiamo n oggetti diversi che compaiono solo una volta: in quanti modi li posso permutare?

N fattoriale

Esempio

In quanti modi posso mettere 6 carte in 6 spazi?

Le 6 carte sono tutte diverse e nessuna compare + di una volta, cambia solo l'ordine

Risposta : 6! 

[carte = posti] 

disposizioni semplici  

Abbiamo n oggetti diversi cambiano gli oggetti e cambia l'ordine in cui compaiono

Conta quali sono e l'ordine in cui compaiono        

Disposizioni semplici di n elementi presi k a k            

              n!

D n,k     -------

           (n-k)!

combinazioni semplici  

Contano quali oggetti e non conta l'ordine, contano gli insiemi di elementi 

Combinazioni semplici di n elementi presi k a k

                    n!                                                

C n,k =   ----------   =  (  n  ) =   coefficiente binomiale

               k!(n-k)!       (  k  )

Esempio

Abbiamo 6 carte e 4 spazi: quanti sono i possibili insiemi che si possono formare? 

Ci interessa  sapere quali sono e non ci interessa l'ordine: contano i possibili insiemi che si possono formare scegliendo 4 carte tra quelle 6 

                    6!

C 4,6 =   ----------

                 4! 2! 

proprietà del coefficiente binomiale  

( n )  = ( n ) =  1

( 0 )     ( n )  

( n ) = n

( 1 )

 ( n ) = (  n  )

( k )    ( n-k )

(  n+1 )  =  (   n   )  +  ( n ) k = 1

(    k   )       ( k-1 )      ( k )  

permutazioni con ripetizione

Il numero di spazi è = al numero totale degli elementi 

Numero di permutazioni di n elementi di k tipi:   

               n!

    ----------------

       k1!+k2!...+ks!

                       n!

P nk,k-1 =  -----------

                  k!(n-k)!

Esempio

Ho 5 carte 3 di 1  tipo 2 di un altro in quanti modi le posso mettere in 5 spazi? 

Se fossero diverse avrei 5! Quindi devo togliere i casi in cui siano uguali

Numero di permutazioni di 5 elementi di cui 3 di 1 tipo e 2 di un altro

  5!

------

 3!2! 

disposizioni con ripetizione  

Disposizioni di n elementi presi k a k 

D n,k = n k

Esempio

Ho 3 mazzi di carte: un mazzo di 1, un mazzo di 2 e un mazzo di 3: in quanti modi le posso disporre in 5 spazi? Numero di disposizioni di 3 elementi presi 5 a 5 

Risposta: 3 alla 5  

combinazioni con ripetizione  

conta quali carte non conta l'ordine n elementi 

( k + n -1 )

-------------

 k!(n-1)!

 ( k + n – 1 )

 (       k       ) 

Esempi 

• In quanti modi 6 passeggeri si possono disporre in 6 posti?

Risposta: 6! 

• In quanti modi 4 passeggeri si possono disporre in 6 posti?

Sembrerebbe n < k, invece se considero n i posti e k le persone, cioè quanti posti posso assegnare a ciascuna persona, sono devo chiedermi se le persone sono distinguibili tra loro oppure no 

1. se considero le persone distinte tra loro saranno disposizioni semplici ( conta l'ordine )  

sono   disposizioni di 6 elementi presi 4 a 4 

                       6!

D 6,4   =     ----------  =  360

                  ( 6 – 4 )!  

1. se considero le persone NON distinte tra loro  saranno combinazioni semplici  

sono   combinazioni semplici ( non conta l'ordine, semplici perché posso associare una sola persona ad un posto )  

                                                       6!

C 6,4    =      ( 6 )            =       --------------     = 15  

                    ( 4 )                        4! ( 6-4 )! 

• In quanti modi tra 8 passeggeri se ne possono scegliere 6 senza considerare l'ordine

                                                        8!

C 8,4    =      ( 8 )             =       --------------     = 28  

                   ( 4 )                        6! ( 8-6 )! 

• Tra gli 8 passeggeri 1 ci deve essere per forza  

                                                       7!

C 7,5    =      ( 7 )            =       --------------     = 21  

                    ( 5 )                        5! ( 7-5 )!

 In quanti modi posso far sedere i restanti passeggeri ( considero quindi anche l'ordine )?

sono    disposizioni semplici di 7 elementi presi 5 a 5         

                   7!                 7!

D 7,5  =  --------   =    -------  = 2520

                (7-5)!              2! 

• Si hanno 5 urne ciascuna con 90 palline numerate; 5 persone estraggono contemporaneamente 1 pallina da ogni urna: quanti possibili insiemi di 5 combinazioni posso ottenere?  

Posso avere delle ripetizioni ( estrazione della pallina con lo stesso numero da + persone )

Non conta l'ordine

sono    combinazioni con ripetizione di 90 elementi presi 5 a 5

 C r n,k   =  ( k + n – 1 )

                 (       k      )

C r 90, 5   =  ( 5 + 90 – 1 )

                  (        5        )

• Quanti sono i possibili risultati del lancio simultaneo di 2 dadi uguali?  

Posso avere delle ripetizioni ( stesso numero su entrambi i dadi)

Non conta l'ordine 

sono    combinazioni con ripetizione di 6 elementi presi 2 a 2 

C r 6,2   =  ( 2 + 6 – 1 )

                (       2      )  

• Quante sono le possibili giocate del superenalotto?  

Non posso avere ripetizioni

Non conta l'ordine 

sono   combinazioni semplici di 90 elementi presi 6 a 6

C n,k   =  (  n  )

              (  k  ) 

C 90,6   =  (  90  )  =  622 614 630

               (   6   )                                                          1

Se faccio una giocata ho la possibilità di fare 6 di  -------------

                                                                             622 614 630