Probabilità e statistica
By ALeXio
Parte 2
Verifica di 2 eventi A e B
- Eventi indipendenti
P(A)xP(B)=
P(A∩B)
P(A∩B)=
P(A)xP(B)
- Eventi incompatibili o disgiunti
P(A)+P(B)=P(AUB)
P(AUB)= P(A)+P(B)
- Eventi NON disgiunti o non incompatibili
P(AUB)=
P(A)+P(B)-P(A∩B)
Probabilità condizionata
P(B|A)= P(A∩B)/P(B)
Teorema della
probabilità totale
P(B)=∑P(Hi)xP(Hi|B)
Teorema di Bayes
P(B|Hi)= P(Hi).P(Hi|B)/∑P(Hj).P(Hj|B)
Come va modificata la prob di un'ipotesi sapendo che si è verificato un certo evento.
Un apparecchio monta pezzi buoni B o mediocri M. Se ha i pezzi B l'affidabilità F è del 95%, se ha i pezzi M del 70%. Gli apparecchi con pezzi B sono il 40%. Un apparecchio viene collaudato e funziona: calcolare la prob che abbia pezzi B.
Quindi trovare (funziona|è buono sapendo che.)
P(B)=0.40 P(M)=0.60
P( B|F)=0.95 P(M|F)=0.70
P(F|B)=P(B).P(B|F) / P(B).P(B|F)+ P(M).P(M|F)
0.40x0.95 / 0.40x0.95+0.60x0.70 = 0.475
Un sistema è costituito da 2 componenti in parallelo e si guasta solo se entrambi i componenti si guastano. Sapendo che P(G1) è la prob di guasto del componente 1 e che P(G2) è la prob di guasto del componente 2, calcolare la prob di guasto del sistema. G1 è indipendente da G2 ma non sono incompatibili, quindi P(G1UG2)= P(G1)+P(G2)-P(G1∩G2)
Evento Guasto del sistema=P(G1∩G2)=P(G1)xP(G2)
Probabilità di funzionamento=(1-P(G1))+(1-P(G2))-(1-P(G1))x(1-P(G2))
Es.
Un sistema è costituito da 2 componenti in serie e si guasta se almeno un componente si guasta. Sapendo che P(G1) è la prob di guasto del componente 1 e che P(G2) è la prob di guasto del componente 2, calcolare la prob di guasto del sistema. G1 è indipendente da G2 ma non sono incompatibili, quindi P(G1UG2)= P(G1)+P(G2)-P(G1∩G2)
Evento Guasto del sistema=P(G1UG2)
P(G1)+P(G2)-P(G1∩G2)
P(G1)+P(G2)-P(G1)xP(G2)
n oggetti
k volte
|
|
semplici |
con ripetizione |
|
|
n=k |
n! |
n! ------------- k1!k2!...kn! |
permutazioni |
|
n/=k |
n! ------ (n-k)! |
nk |
disposizioni conta l'ordine |
|
n/=k |
(n) (k) |
(n+k-1) ( k ) |
combinazioni non conta l'ordine |
Legge ipergeometrica
#favorevoli
---------------
#possibili
Es.
In un'urna ho n palle:B palle bianche e R palle rosse. Calcolare la prob di estrarre k palle rosse.
Eventi possibili:
( B+R )
( n )
Eventi favorevoli palle R:
( R )
( k )
Eventi favorevoli palle B rimanenti:
( B )
( n-k )
Quindi:
( R ) ( B )
( k ) ( n-k )
-------------
( B+R )
( n )
Es.
Da un mazzo di 52 carte ne estraggo 2 senza rimetterle nel mazzo. Calcolare la prob di estrarre 2 assi e la prob di estrarre prima un asso e poi un re.
2 assi: 4/52 x 3/51
1 asso e 1 re: 4/52 x 4/51
Es.
In un'urna con 4 palle bianche B e 3 nere N ne estraggo 2 e le rimetto dentro. Calcolare la prob che siano dello stesso colore e che almeno una sia nera.
P(B)=4/7
P(N)=3/7
Prob di estrarre 2 palle B: P(B∩B)=P(B).P(B|B)=P(B).P(B)=16/49
Prob di estrarre 2 palle N:
P(N∩N)=P(N).P(N|N)=P(N).P(N)=9/49
Prob di estrarre 2 palle dello stesso colore: P(B∩B)U(N∩N)=16/49+9/49
Almeno una nera=Prob di estr una B e una N, una N e una B, una N e una N
P(N∩B)U(B∩N)U(N∩N)
P(N∩B)= P(B∩N)= P(N).P(N|B)=P(N).P(B)
P(N∩N)=P(N).P(N)
P(N∩B)U(B∩N)U(N∩N)=12/49+12/49+9/49
Es.
Ho 4 palle bianche e 3 rosse.
Ne estraggo 2 senza rimetterle dentro. Qual è la prob che siano dello stesso colore?
4/7 x 3/6
Ne estraggo 2 e le rimetto dentro. Qual è la prob che siano dello stesso colore?
P(B|B)=P(B).P(B) P(N|N)=P(N).P(N)
16/49+7/49
Formula di Bernoulli
∑ i=0 k ( k ) a i b k-i
( i )
Ho n esperimenti indipendenti che possono dare solo 2 tipi di risultato: successo:p o insuccesso:q. Qual è la prob di ottenere esattamente k successi?
La prob di ottenere k successi è pk e la prob di ottenere k insuccessi è
q n-k
Si tratta di permutazioni con ripetizione.
Es.
Si lanci un dado 12 volte e si consideri successo l'uscita di un 5 o di un 6. Calcolare la prob di ottenere esattamente 4 successi.
Prob di successo: 2/6=1/3
Prob insuccesso: 1-1/3=2/3
Bernoulli: ( 12 ).(1/3)4.(2/3)8
( 4 )
Un dispositivo è costituito da n componenti uguali e
indipendenti e si considera funzionante quando almeno k componenti funzionano.
Calcolare la prob di funzionamento del dispositivo.
∑ i=k n ( n ) pi . (1-p) n-i
( k )
Es.
Un dispositivo costituito da 5 componenti identici in
parallelo ognuno con prob di funzionamento a 10000 ore di 0.89. Il dispositivo
tollera il guasto di 2 componenti. Calcolare la prob di funzionamento del
dispositivo a 10000 ore. P guasto=1-0.89=0.11
Prob di funzionamento
∑ k=3 5 ( 5 ) 0.89k . (0.11) 5-k
( k )
Prob funzionamento=1-Prob di guasto
1-∑ k=0 2 ( 5 ) 0.89k . (0.11) 5-k
( k )
Variabili
aleatorie discrete
Applicazione che opera su elementi di uno spazio campionario omega e restituisce dei numeri reali.
Speranza matematica: somma dei valori assunti dalla variabile aleatoria x loro probabilità.
E[X]= ∑xi p(xi)
Varianza: sper matem di x - sper matem2
Var[X]=E[X-E[X]2]=sigma2 sigma=scarto quadratico medio
Covarianza: esprime la correlazione tra 2 variabili=somma della varianza di 2 variabili aleatorie
Var[x+y]=E[x+y-E[x+y])2]=Var[x]+Var[y]+2E[x-E(x))per(y-E[y])]
Variabili scorrelate: processano eventi indipendenti covarianza=0
Variabili
aleatorie continue
Assumono tutti i valori che appartengono ad un intervallo reale.
Densità di prob: ∫fy(y)dy=1
Speranza matematica: E[y]=∫yperfy(y)dy
Varianza: Var[y]= ∫(y-E[y])2fy(y)dy
Speranza matematica:μ apertura della campana:σ
Distribuzione cumulativa: prob che la var x assuma valori tra -∞ e t: F(t)=∫-∞t f Fx[x]dx
Gaussiana normalizzata: x=σy+μ , y=(x-μ)/σ
Procedimento: normalizzo la gaussiana, faccio i conti e vado a vedere i valori nelle tabelle.
Es.
Ho una var gaussiana x con parametri μ=3 , σ=5.
Calcolare la prob che x assuma un valore compreso tra -1 e 7 oppre maggiore di
8.
-1≤x≤7, x>8; P(-1<x<7)=Fx(7)-Fx(1)
Normalizzo: Fy(7-3)/5-Fy(-1-3)/5 = 0.8 ; -0.8; guardo le tabelle
Il valore di -0.8 è 1-Fy(0.8)
