Vettori

By AleXio

I vettori sono segmenti orientati nel piano o nello spazio caratterizzati  da una direzione, un verso e un modulo.

Direzione : retta su cui si trova il vettore

Verso: freccia

Modulo: lunghezza

i, j, k: versori fondamentali, cioè vettori di modulo 1 applicati nell’origine che determinano la direzione e il verso: i = x, j = y, k = z

Vettore nello spazio scritto in componenti ovvero con i versori fondamentali:

Vxi + Vxj + Vxk

Modulo di un vettore nello spazio: | V | = √ ( Vx² + Vy² + Vz²)

somma e differenza

Somma di due vettori v e w: costruisco un parallelogramma unendo i due vettori con segmenti paralleli e la diagonale più lunga del parallelogramma che  ne risulta è la loro somma.

Differenza di due vettori v e w: siccome calcolare v – w equivale a sommare v + ( -w ), basta fare la somma e ribaltare w. La diagonale più corta è la differenza.

Somma con le componenti ( nello spazio ): ( Vx + Wx )i + ( Vy + Wy )j + ( Vz + Wz )k

prodotto scalare

Il prodotto scalare di 2 vettori v e w nel piano ha come risultato un numero

V . W = | V | . | W | . cos VW

In componenti: Vx . Wx + Vy . Wy + Vz . Wz

Esempio

Trovare il prodotto scalare  in R3 tra i vettori V ( 2, 1, -2 ) e W ( 1, 1, 1 )

V.W = ( 2, 1, -2 ) . ( 1, 1, 1 ) = 2 + 1 + ( -2 ) = 1

vettori paralleli

Due vettori V e W sono paralleli se esiste un numero t tale che V = tW

Nel piano in componenti: V = ( Vx Vy ),  W = ( Wx Wy )

Due vettori sono paralleli se

V // W :  Vx . Wy – Vy . Wx = 0

vettori perpendicolari

Due vettori sono perpendicolari se il loro angolo compreso è Π / 2, quindi se il loro prodotto scalare è 0

V _|_ W à V . W = 0

Esempio

Calcolare il prodotto scalare tra i vettori V ( 2, 2 ) e W ( -1, 1 )

( 2, 2 ) . ( -1, 1 ) = 0

Quindi V e W sono perpendicolari

angolo tra due vettori

L’angolo tra due vettori V e W nello spazio si ricava dalla formula del prodotto scalare in componenti

cos VW  =  | Vx.Wx + Vy.Wy + Vz.Wz |

                  ------------------------------------

                                | V | . | W |

Esempio

Trovare l’angolo tra i vettori V ( 1, 3 ) e W ( 1, 0 )

V . W = 1

cos VW =              1

                      -------------                  

                       | V | . | W |

cos VW =              1                    =         1

                      --------------                  --------

                        √( 1 + 9 )                      √10