Costruisco la m. jacobiana con le derivate parziali
Coordinate polari
By ALeXio
Sono utili quando il dominio di integrazione ha una forma circolare
{ x = ρ cos θ
{ y = ρ sin θ
( ρ = raggio, θ = angolo )
Formula:
∫A f( x ) dx = ∫A’ f( φ( u ) . | det J φ | du
La funzione deve essere di classe c1, biunivoca, il determinante della m. jacobiana ≠ 0
J = matrice jacobiana, formata dalle derivate parziali prime
[ x’ y’ ]
[ x’ y’ ]
[ … … ]
Costruisco il gradiente e poi la matrice jacobiana
Esempio
x y
↓ ↓
( x + 2y ) [ 1 2 ] ← derivate prima componente
f( x, y )=( y2 ) ŕ [ 0 2y] ← “ seconda “
↑
matrice
jacobiana
procedimento
Esempio
√( 4 - x˛ ) √ ( 1 - x˛ ) ∫ xy dx dy
Costruisco la m. jacobiana con le derivate parziali
derivata rispetto a ρ θ
↓ ↓
{ x = ρ cos θ ŕ [ cos θ - ρ sin θ ] ← x ( ρ, θ )
{ y = ρ sin θ ŕ [ sin θ ρ cos θ ] ← y ( ρ, θ ) ŕ det. ŕ ρ cos˛ θ + ρ sin˛ θ = ρ
Dominio in funzione di ( ρ = raggio, θ = angolo )
{ x ( ρ, θ ) = ρ cos θ
{ y ( ρ, θ ) = ρ sin θ
A = { ( ρ, θ ) : 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π }
Il dominio di integrazione diventa un rettangolo [ 1, 2 ] . [ 0, 2π ]
Se ho un dominio di integrazione rettangolare moltiplico tra loro gli integrali tra i due estremi
D = [ a, b ] . [ c, d ] ŕ ∫D f( x ) g( y ) dx dy ŕ [ a ∫ b f( x ) dx ] . [ c ∫ d g( y ) dy ]
L’integrale diventa:
∫A ( xy ) dx dy ŕ ∫A’ ( ρ˛ cos θ sin θ ρ ) dρ d θ
Calcolo l’integrale:
∫A’ ( ρ3 cos θ sin θ ) dρ dθ ŕ [ 1 ∫ 2 ρ3 dρ ] . [ 0 ∫ 2π cos θ sin θ dθ ] ŕ 1/4 ρ4 |12 . 0 = 0
Esempio
Rappresentare graficamente l’insieme delle coppie( x, y ) t.c. y < |x| , x2 + y2 ≤ 9
Calcolare l’integrale doppio : ∫ e x2 + y2
dx dy
Dominio con le coordinate polari
{ x = ρ cos θ
{ y = ρ sin θ
