Integrali doppi
By ALeXio
Si definisce m (a) l’integrale che misura l’area di a
m(a) = ∫dx dy
se f ( x, y ) ≥ 0 il volume è dato da
V ∫a f( x, y ) dx dy
additività
Si può spezzare l’integrale nella somma di + integrali
linearità
L’integrale di una somma è = alla somma degli integrali
L’integrale di una costante x una funzione = costante x integrale della funzione
annullamento
Indipendentemente da come è fatta la funzione se la m ( a ) = 0 l’integrale sarà = 0
come si calcolano
La prima cosa è studiare il dominio e poi integrare secondo la formula
A seconda del dominio ci si può ricondurre a calcolare l’integrale di una sola variabile
dominio verticalmente convesso
A = { ( x, y ) in R2 : a ≤ x ≤ b , alfa( x ) ≤ y ≤ beta( x ) }
dominio orizzontalmente convesso
A = { ( x, y ) in R2 : c≤ y≤ d , gamma(y) ≤ x≤ delta (y) }
orizzontalmente + verticalmente convesso
domini vari
Devo considerare separatamente il dominio A1 e il dominio A2, che sono verticalmente convessi
In questo caso il dominio è verticalmente convesso: 0 ≤ y ≤ mx+q
integrazione per verticali o per orizzontali
Integrazione per verticali
ab∫ f ( x, y ) dx dy = ab∫ { αβ∫ f (x, y) dy } dx
Integrazione per orizzontali
Cambiano solo le variabili a e b in c e d, alfa e beta in gamma e delta e integro prima in dx e poi in dy
Se il dominio è sia orizzontalmente che verticalmente convesso si può scegliere
Esempio
Calcolare il dominio di integrazione A delimitato dalla parabola x = y2 e dalle rette y=0 x=1 della funzione f (x, y ) = x / ( 1+y2 )
il dominio è sia orizzontalmente convesso à A = { (x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, y2 ≤ x ≤1 }
che verticalmente convesso à A = { (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √x }
integro per verticali
x 1 √x x √x
∫ ---------- dx dy à 0 ∫ . { ∫ -------- dy } dx à x atan y | à x atan √x
1 + y2 0 1 + y2 0
0
∫ x atan √x dx à non so come si integra quindi provo per orizzontali
1
x 1 1 x 1 1 1
∫ ---------- dx dy à 0 ∫ . { ∫ ---------- dx } dy à -------- . ----- x2 | =
1 + y2 y2 1 + y2 1 + y2 2 y2
x x 1 1
∫ ---------- - --------- . ------ y4 à … à = ----
1 + y2 1 + y2 2 3
