Integrali indefiniti di funzioni razionali
By ALeXio
decomposizione in fratti semplici
Si effettua quando abbiamo una funzione razionale dove il denominatore è di grado > o = al numeratore
Il denominatore può essere decomposto in:
2 radici reali distinte
ax2 + bx + c à a ( x – α ) ( x – β )
hx + k A B
∫ ---------------- à ---------- + ---------- = A log |(x – α)| + B log |(x – β)|+c
ax2 + bx + c à a ( x – α ) ( x – β ) ( x – α ) ( x – β )
Esempio
1 A B
∫ ------- à ---------- + --------
x2 – 1 ( x + 1 ) ( x - 1 )
determinare A e B
A ( x + 1 ) + B ( x – 1 ) = 1
raccolgo
( A + B ) x + A - B = 1
sistema
{A + B = 0 à A = 1/2 B = - 1/2
{A – B = 1
Sostituisco i valori trovati nell’integrale
1/2 - 1/2 1 1
∫ ---------- + ---------- dx à 1/2 ∫ ---------- - 1/2 ∫ ---------- = 1/2 log |( x + 1 )|- 1/2 log |( x - 1 )|
( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x – 1 )
| (x-1) |
= 1/2 log |-------| + c
| (x+1) |
2 radici reali coincidenti
ax2 + bx + c à a ( x – α )2
hx + k A B
∫ ---------------- à ---------- + ----------
ax2 + bx + c à a ( x – α )2 ( x – α ) ( x – α )2
Esempio
3x – 2 A B 1 1
∫ ------------ dx à ---------- + ---------- à 3 ∫ ---------- + 4 ∫ ---------- dx
( x – 2 )2 ( x – 2 ) ( x – 2 ) 2 ( x – 2 ) ( x – 2 ) 2
uso la sostituzione t = ( x- 2 ) à dt = dx
t -2+1 4
3 log | x – 2 | + 4 ∫ t -2 dt à 3 log | x – 2 | + 4 ∫ --------- = 3 log | x – 2 | - --------- + c
-2 + 1 ( x – 2 )
grado numeratore >= grado denominatore
Quando i gradi di numeratore e denominatore sono = oppure il grado del numeratore è > si divide il numeratore per il denominatore ottenendo il quoziente + il resto diviso il denominatore
num ( x ) r ( x )
----------- = q ( x ) + --------
den ( x ) d ( x )
Esempio
( x2 + 2 x + 2 )
∫ ------------------ dx à num/den = 1 resto = 2x + 3
( x2 – 1 )
Separo l’integrale che ottengo nella somma di 2 integrali
2x + 3
∫ 1 dx + ∫ ---------- dx
x2 – 1
Risolvo 1 e applico la regola dei fratti semplici
2x + 3 A B
x + ∫ ---------- = ------- + ------- à A ( x + 1 ) + B ( x – 1 ) = 2x + 3 à A = 5/2 , B = - 1/2
x2 – 1 x - 1 x + 1
| x + 1|
= x + 5/2 log | x – 1 | - 1/2 log | x + 1 | + c à x + 2 log | x – 1 | + 1/2 log |-------| + c
| x – 1 |
il denominatore non ha radici reali
al numeratore non c’è la x
Ovvero Δ ( b2 – 4ac ) < 0
1
Bisogna fare riferimento a ∫ ---------- dx = atan ( x ) + c
( x2 + 1 )
Esempio
1 1 1
∫ ---------- dx à ----------- à t = 2x, dt = 2dx, dx = 1/2 dt à-------- . 1/2 dt
4x2 + 1 (2x)2 + 1 t2 + 1
= 1/2 atan ( t ) +c = 1/2 atan ( 2x ) + c
Esempio
1 1 1
∫ --------------- dx à tiro fuori il □ à ----------- à t = ( x + 1 ), dt = dx à -------- dt
x2 + 2x + 2 (2x)2 + 1 t2 + 1
= atan ( t ) + c = atan ( x + 1 ) + c
al numeratore c’è la x
Bisogna cercare di ricondursi ad avere f '( x ) / f( x ) = log | f ( x ) | + c
Esempio
2x + 3 2x + 2 1
∫ -------------- dx à spezzo il numeratore à ∫ -------------- + ------------- dx
x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
il primo integrale è nella forma f ‘( x ) / f ( x ) e il secondo si può decomporre il denominatore in
( x + 1 ) 2 + 1 , sostituire t = ( x + 1 ) e avere la forma 1 / ( x2 + 1 )
= log ( x2 + 2x + 2 ) + atan ( x + 1 ) + c
grado numeratore < grado denominatore
Scomporre il denominatore in fattori e usare i fratti semplici
Esempio
x3 + 2 A B C
∫ --------- dx ≡ ---------- + ---------- + ---------
x4 – 1 à ( x2 + 1 ) ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x2 + 1 )
D ( 2x )
siccome ho x2 al denominatore devo aggiungere un fratto con la sua derivata: + ------------
( x2 + 1 )
Quindi ottengo il sistema:
↑→ ( x2 - 1 ) ←↑
A ( x + 1 ) ( x2 + 1 ) + B ( x – 1 ) ( x2 + 1 ) + ( C + 2 Dx ) ( x - 1 ) ( x + 1 )
-------------------------------------------------------------------------------------------
( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x2 + 1 )
…
{A + B + 2D = 1
{A – B + C = 0
{A + B – 2D = 0
{A – B – C = 2
…
= 3/4 log |x – 1| - 1/4 log |x + 1| - atan ( x ) + 1/4 log ( x2 + 1 ) + c